Question

已知（x+33x）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展

已知（x+33x）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）令x=1，可得（x+

3

3 x

）ⁿ的展开式中，各项系数的和为4ⁿ，而其二项式系数的和为2ⁿ，
由

4n

2n

=64，求得 n=6，故展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 6

?3^r?x6?

4r

3

，
令6-

4r

3

=2，求得r=3，∴含x²的项的系数为

C

3 6

?3³=540．
（2）由（1）可得，展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 6

?3^r?x6?

4r

3

，令6-

4r

3

为有理数，可得r=0，3，6，
故有理项为 T₁=x⁶，T₄=540x²，T₇=

36

x2

．
（3）设第r+1项的系数为a_r=

C

r 6

?3^r，
则展开式各项的系数分别为 a₀=1，a₁=18，a₂=135，a₃=540，a₄=1215，a₅=1458，a₆=729，
故系数最大的项为第六项，T₆=1458x

2

3

．