Question

若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为______

若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为______．

Answer 1

（1）当?

a

2

＞?1，即a＜2时，
f(x)＝

?3x?1?a，(x≤?1) ?x+1?a，(?1＜x＜? a 2 ) 3x+1+a，(x≥? a 2 )

，
∴f（x）在区间（-∞，?

a

2

）上单调递减，在区间[-

a

2

，+∞）上单调递增，
当x＝?

a

2

时取最小值．
∵函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，
∴f(?

a

2

)＝3．
∴a=-4．
（2）当?

a

2

＜?1，即a＞2时，
f(x)＝

?3x?1?a，(x≤? a 2 ) x?1+a，(? a 2 ＜x＜?1) 3x+1+a，(x≥?1)

，
∴f（x）在区间（-∞，?

a

2

）上单调递减，在区间[-

a

2

，+∞）上单调递增，
当x＝?

a

2

时取最小值．
∵函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，
∴f(?

a

2

)＝3．
∴a=8．
（3）当?

a

2

＝?1，即a=2时，
f（x）=3|x+1|≥0，与题意不符．
综上，a=-4或a=8．
故答案为：a=-4或a=8．