Question

如图所示，平行金属板右侧有一宽度为a的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．在磁场I的右侧存

如图所示，平行金属板右侧有一宽度为a的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．在磁场I的右侧存在范围足够大的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小也为B，方向垂直纸面向外．现在正极板处有一带正电粒子（粒子重力不计），质量为m、电荷量为q，由静止开始经电场加速后，经右侧金属板狭缝沿x轴方向进入磁场，求：（1）当加速电压U=U0时，带电粒子恰好可以到达磁场区域Ⅰ、Ⅱ的交界处，求加速电压U0；（2）当加速电压U=2U0时，带电粒子进入磁场后经过时间t到达x轴，求运动时间t（可用反三角函数表示）；（3）当加速电压U=kU0（k＞1）时，带电粒子可以沿进入磁场前的路径返回，求k值．

Answer 1

（1）设粒子进入磁场时的速度为v，当粒子在磁场中的圆周运动半径为a时，恰好可以到达磁场区域Ⅰ、Ⅱ的交界处，则有：qvB＝m

v2

a

qU0＝

1

2

m

v

2

得：U0＝

qB2a2

2m

上式表明，轨道半径的平方和加速电压成正比．
（2）带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，C、C'为圆周运动的圆心．当U=2U₀时，设带电粒子的轨道半径为R，由（1）问的比例关系可知
R＝

2

a
又sin∠OCC′＝

a

R

解得：∠OCC′＝

π

4

又DC′＝FC′?FD＝Rsin

π

4

?(R?Rcos

π

4

)
得：DC′＝(2?

2

)a
cos∠DC′P＝

DC′

R

＝

2

?1
解得：∠DC′P＝arccos(

2

?1)
带电粒子在磁场中轨迹对应的圆心角之和为：θ＝2×

π

4

+∠DC′P＝2×

π

4

+arccos(

2

?1)
带电粒子在磁场中的运动周期为：T＝

2πm

qB

所以带电粒子的运动时间为：t＝

θ

2π

T＝

m

qB

[

π

2

+arccos(

2

?1)]
（3）若要带电粒子返回电场，由对称可知其轨迹如图所示．这时C'点在x轴上．由几何知识可得粒子运动半径r为
（2r）²-r²=（2a）²
求得：r＝

2 3

3

a
由第（1）问的比例关系得：U＝

qB2r2

2m

＝

2qB2a2

3m

＝

4

3

U0
因此有：k＝

4

3

．
答：（1）加速电压U0＝

qB2a2

2m

；
（2）运动的时间为

m

qB

[

π

2

+arccos(

2

?1)]；
（3）k值为

4

3

．