Question

设λ0是n阶可逆矩阵A的一个特征值，则|A|E-λ0A*的行列式等于______

设λ0是n阶可逆矩阵A的一个特征值，则|A|E-λ0A*的行列式等于______．

Answer 1

由于A可逆，因此|A|≠0
∴||A|E?λ0A*|=

|A|?||A|E?λ0A*|

|A|

=

1

|A|

?||A|A?λ0AA*|，
而AA^*=|A|E，因此
||A|E?λ0A*|=

|A|n

|A|

|A?λ0E|＝(?1)n|A|n?1?|λ0E?A|
又A的特征多项式为|λE-A|，且已知λ₀是n阶可逆矩阵A的一个特征值
∴|λ₀E-A|=0
∴||A|E?λ0A*|=0

Answer 2

由于λ0是A的一个特征值，并且A是一个可逆矩阵，所以λ0不等于0，并且1/λ0是A逆的一个特征值，也就是|(1/λ0)E–A逆|=0，所以||A|E–λ0A*|=||A|E–λ0|A|A逆|=(|A|λ0)^(n–1)·|(1/λ0)E–A逆|=0.