Question

如何根据二次函数的图像判断a，b，c的有关性质

Answer 1

近年，在各地的中考题中，常出现这样一类关于二次函数的题目：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的某些信息，要求判断和系数a、b、c有关的各种命题（通常是等式或不等式）是否成立。对这类题目，特别是其中显得有些“怪异”的命题，初学者普遍感到比较困难，究其原因，主要是对二次函数的图像抛物线缺乏深入研究，不清楚抛物线与a、b、c与之间的各种关系，未能总结出解此类题目的规律性。
例1 5.(08.长沙)二次函数的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A.a＜0；B.abc＞0；C.a+b+c＞0；D.b2-4ac＞0.
y 解：A: ∵抛物线开口向下, ∴a<0 故A成立.
B: ∵抛物线与y轴的交点在正半轴,∴c>0 .
∵对称轴在y轴左侧(或顶点在y轴左侧),∴－ <0.
又∵a<0, ∴b<0. ∴abc>0. 故B成立。
-1 0 1 C: 由点（1,0）在抛物线上对应点的上方知，当x=1时，y<0,
即a+b+c<0.故C不成立。
D: ∵抛物线与x轴有两个交点（或顶点在x轴上方）
∴b2-4ac>0. 故D成立。
综上，应选（C）
由此题可以看出，解这类题目的关键，在于对题目中给出的图像抛物线的五个方面的观察和探讨：一.开口方向；二．抛物线与y轴的交点；三．顶点的位置；四．对称轴x=－ 的位置；五．抛物线与x轴的交点。只要我们熟知了这五个方面与a、b、c 的各种关系和规律，则绝大多数题目的解决就会变得容易起来。
对此，我们可作相关总结如下：
一．开口方向：判断a的符号。
若开口向上，则a﹥0；若开口向下，则a﹤0.
二．抛物线与y轴的交点：判断c的符号
若交点在y轴的正半轴，则c﹥0；若交点在轴的负半轴，则c﹤0；若交点恰为原点，则c=0。
三．顶点的位置
1.顶点横坐标－ 的作用：根据顶点与y轴的左右关系，判明横坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。（利用对称轴亦有此效，见后四。1）
2.顶点纵坐标(4ac－b2)／4a 的作用：根据顶点与x轴的上下关系，判明纵坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b2－4ac的符号。（利用抛物线与x轴的交点个数，亦有此效）
四．对称轴x=－ 的位置
1．判断b的符号：根据对称轴与y轴的左右关系，判明整个－ 的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
2．若对称轴已知为x=k,则－ =k,即得出a、b之间的一个等量关系。
3．若对称轴已知为x=k>m，则－ >m,结合a的符号，可得出a、b之间的一个不等关系（如大小关系）。
五．抛物线与x轴的交点：从ax2+bx+c的结构特点入手判断有关命题
注意二次函数式ax2+bx+c的结构有如下特点：
当x=±3时，ax2+bx+c=9a±3b+c ①
当x=±2时，ax2+bx+c=4a±2b+c ②
当 x=±1时，ax2+bx+c=a±b+c ③
当x=±m时，ax2+bx+c=am2±bm+c ④
设抛物线与x轴的交点为A，B，根据x轴上的点（±3,0）,（±2,0）,（±1,0）,(±m,0)等与点A，B的位置关系，即可判断出和上述①②③④四个式子（或其变式）有关的若干命题是否成立。
例2.（2007•天津）已知二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图像如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b>m(am+b) (m为≠1的实数)。
其中正确的结论有 （ ）
A.2个； B.3个. C.个. D.5个.
y 解：①：不成立。理由略。
X=1 ②：由点（-1,0）在抛物线上对应点的上方知，当x= -1
时，y<0,即a-b+c<0,故b>a+c.故②不成立。
③由对称性知点（2，0）在对应的抛物线上的点的下方，
所以，当x=2时，y>0,即4a+2b+c>0.故③成立。
-1 0 x ④由对称轴为x=1知，－ =1，∴a=- b,代入前面的

a-b+c<0即得2c＜3b。故④成立。
⑤由顶点是最高点知，当x=1时的y值 > 当x=m(≠1)时的y值，即a+b+c>am2+bm+c,故a+b>m（am+b）(m≠1) .
故⑤成立。
综上，应选B.
对于某些较难判断的题目，仅有以上五点总结还不很够，为此，下面再补充一点。
六．以方程组或不等式组的思想为指导，运用相关技巧判断一些较难命题是否成立。
1．若对称轴为x=k,则－ =k,再将其带入题中得到的相关式子，即可判断出a、c或b、c之间的一些关系。
2．若抛物线与x轴的交点为（k,0），则ak2 +bk+c=0, 再将其带入题中得到的相关式子，即可判断出a、b、c之间的一些关系。
3.若抛物线与x轴的交点为（k1，0）和（k2，0），则ak12+bk1+c=0，ak22+bk2+c=0，将两式配合变形即可得出a、b、c之间的一些关系。
例3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图x轴交于点（-3,0）,(x1,0),且2＜x1＜3,又与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的上方，下列有四个结论：
①a＞b＞0；②6a+c＞0；③9a+c＜0；④9a+3b+2＞0.
其中正确的结论是_______（将你认为正确的结论都填上）
解：① 不成立。理由略。
Y ② 由交点（-3,0）得9a -3b+c=0 (1)
由点（2,0）得4a+2b+c>0 (2)
从（1）、（2）中消去b得30a+5c>0 ∴6a+c>0
2 故②成立。
X1 ③ 由点（3,0）得9a+3b+c<0 (3)
-3 0 2 3 x 从（1）、（3）中消去b得18a+2c<0 ∴9a+c<0
故③成立。
④ ∵图像与轴正半轴的交点在（0,2）的上方
∴c>2
∴由（3）可得9a+3b+2<9a+3b+c<0
故（4）不成立。
综上，正确的结论是②、③。
例4．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点（-2,0）、（x1,0）,1＜x1＜2,与y轴的正半轴的交点在点（0,2）的下方。下列结论
①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0；⑤b2-2ac＞5a2.
正确结论的个数是（ ）
A.2个； B.3个； C.4个； D.5个。
解：① 依题意，根据抛物线的对称性可知，对称轴应在y轴和
Y 直线y= — 之间，所以— <- <0,又∵a<0,∴b<0且a<b
2 故①成立。
② 由交点（-2,0）得4a-2b+c=0 (1),∴c=2b-4
-2 0 1 x1 2 x ∴2a+c=2a+(2b-4a)=2（b-a）>0. 故②成立。
③ 由（1）得4a+c=2b<0,故③成立。
④ 由（1）得2a-b=- , ∴2a-b+1= >0.故④成立。
⑤ 由（1）得 b= ,∴b2-2ac=( )2-2ac=
(16a2+8ac+c2)∕4 -2ac =4a2+ c2。由②得c>-2a,
∴c2>4a2,所以b2-2ac>4a2+a2> 5a2. 故⑤成立。
注：例3中判断（2）、（3）的方法可用来判断例4中的（2）、（3），反之亦然。总的来说，例3、例4的判断方法各有其特点，但两相比较，可能例4的方法学生更容易把握一些。

巩固练习
1.(08.巴中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列说法不正
y 确的是（ ）
A.b2-4ac＞0；B.a＞0；C.c＞0； D.- ﹤0.
答案：D
0 x

2。（2007，南充）.如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A(-3,0),
y 对称轴为x=-1.给出四个结论：
①b2＞4ac； ②2a+b=0； ③a-b+c=0； ④5a＜b.
其中正确的结论是（ ）
-3 0 1 x A.②④；B.①④；C.②③；D.①③.
答案：B

3.（2009，包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0），
y （x1,0）,且1＜x1＜2,与y轴的交点在点（0,2）的 下
方，下列结论：
2 ①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④a-b+1＞0.
其中正确结论的个数是_____个。
-2 0 1x1 2 x
答案：4.