Question

一元三次方程的根有几种情况?

Answer 1

3种,1根,2根或3根.
不知你是中学生还是.
对于一元三次方程型如ax^3+bx^2+cx+d=0标准型
其解法如下
上面的方程化为x^3+bx^2+cx+d=0,
设 x=y-b/3,则方程又变为y^3+(c-b^2/3)y+(2b^3/27-bc/3+d)=0
设 p=c-b^2/3,q=2b^3/27-bc/3+d,方程为y^3+py+q=0
再 设 y=u+v{
p =—3uv
则（u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0 => u^3+v^3+q=0
所 以q+u^3-(p/(3u))^3=0,即（u^3)^2+qu^3-(p/3)^3=0
设 u^3=t,则t^2+qt-(p/3)^3=0
解 得t=(-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2
所 以u=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3),
所 以v=—p/(3u)=(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)
所 以y1=u+v
=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)+(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)
这 是一个根,现求另两根：
将 y1代入方程得
y^3+p y+q=(y-y1)*f(x)
f(x)用待定系数法求,即设
y^3+p y+q
=(y-y1)（y^2+k1y+k2)
=y^3+(k1-y1)y^2+(k2-k1y1)y-k2y1
所以k1=y1,k2=p+k1^2
f(x)=y^2+y1*y+p+y1^2
然后用求根公式解出另两根y2,y3.
到了高二,你会学"穿针引线法"求3次的不等式.那时老师会让你试根,也就是-3,-2,-1,0,1,2,3一个个往里代,中学中题目必定为特别巧合的解.
给分吧