Question

limx趋于正无穷f(x)=0 f'(x)＜0为什么能推出来f(x)＞0？

Answer 1

因为如果f(0)不等于0，这个极限就不存在或为无穷，而不可能是1/2，分子不为0，分母为0.
因此f(0)只能为0
f(2x)-f(x)=x^2 证明其是一个一元二次函数
不妨设f（x）=ax²+bx+c
那么f（2x）-f（x）=3ax²+bx=x² 则 a=1/3 b=0
f（x）=x²/3+c 又lim(x→0)f(x)=f(0)=1 则 f（x）=x²/3+c=c=1
则f（x）=x²/3+1
楼主应该是考虑太多了，其实这题就是解微分方程f'(x)=-f(x)，得到在x趋于正无穷时有y=C乘以e的-x次方，则可直接得到limf(x)=limf'(x)=0。楼主算一下就明白了，不要局限于一般常用的证明思路才是解决证明该题的王道。
（1）证明：根据题意，f(x)在[x,x+1]上可微，其中x>=a
根据拉格朗日中值定理，存在k(x)∈(x,x+1)，使f'(k(x))*(x+1-x)=f(x+1)-f(x)
f'(k(x))=f(x+1)-f(x)
因为x<k(x)<x+1，所以当x->+∞时，根据极限的夹逼性，有k(x)->+∞
lim(x->+∞)[f(x+1)-f(x)]
=lim(x->+∞)f'(k(x))
=lim(k(x)->+∞)f'(k(x))
=0

Answer 2

用反证法利用微分中值定理证明。

Answer 3

函数的导数小于零，说明该函数是递减函数，即在图像上看斜率小于零，在趋于无穷大时该函数＝0，则在＜无穷大的函数定义域内，f(x)＞0。

Answer 4

函数的导数小于零，说明该函数是递减函数，即在图像上看斜率小于零，在趋于无穷大时该函数＝0，则在＜无穷大的函数定义域内，f(x)＞0。

Answer 5

f'(x)<0,函数是减函数，应该有f(x)>limf(x)极限是0，