Question

连续系统的稳定性判断

Answer 1

连续系统的稳定性判断

连续系统的稳定性判断， 系统的四个性质即线性、时不变性、因果性和稳定性都很重要，判断系统稳定性的主要方法：奈奎斯特稳定判据和根轨迹法。下面看看连续系统的稳定性判断

连续系统的稳定性判断1

讨论线性系统：连续系统的一种处理方式是离散化，离散化后可以得到离散系统，离散系统稳定能说明连续系统稳定吗？

如果连续系统需要满足状态上的约束限制，那么对离散系统处理只能处理有限个采样点处的状态约束，是否有方法保证连续系统在采样点间状态约束的满足？

对于稳定的CLTI系统，用Zero Order Hold离散化以后产生的DLTI系统是稳定的，但是：

1、系统阶数可能改变，

2、非最小相位零点可能出现，

3、能控性能观性可能丧失，

4、这个DLTI系统仅仅描述系统在采样时间的行为。所以你DLTI系统的状态满足限制无法推出CLTI系统状态也满足同样限制。

连续系统的稳定性判断2

如何判断系统的稳定性

系统的四个性质即线性、时不变性、因果性和稳定性都很重要，上次王英吉同学问到系统稳定性的判断问题，下面进行进一步的介绍。

对于连续系统和离散系统的判断，教材中的叙述如下：如果连续系统H(s)的极点都在s平面的左半开平面，离散系统H(z)的极点均在z平面的单位圆内，则该系统是稳定的因果系统。

如果系统函数是已知的，那么根据上面的方法，先求出系统函数的极点，然后根据极点的位置，就可以判断系统的稳定性，于是，问题最后归结为求解一元多次方程的根，即解方程。

吴大正的教材举出一些简单的例子，说明如何判断系统的稳定性，以及当满足系统的稳定性时，一些系统参数应该满足什么条件。但是，当方程是高次的，比如3次、4次等，如果不能进行因式分解而求出方程的根，那么应该怎么办呢？教材没有交代。另一本教材，也是我第一次自学这门课程时所采用的教材，即西电陈生潭等编著的《信号与系统》(第二版，西安电子科技大学出版社，2001年)则介绍了两个重要的准则，即罗斯-霍尔维茨(Routh-Hurwitz)准则和朱里(July)准则。

罗斯-霍尔维茨准则在传统的控制理论课程中都要讲授，它是判别代数方程根的实部特征的一种方法，可以不用解方程就知道方程包含多少个负实部的根。

由于计算机技术的发展，现在用计算机求解高次方程已经很成熟了，因而罗斯-霍尔维茨准则和朱里准则的重要性逐渐降低，很多教材已经不讲这两个准则了。但是，这两个准则曾在历史上有着不可磨灭的功绩，而且难度不大，易于掌握，同学们应该对这两个准则有所了解。

连续系统的稳定性判断3

控制系统稳定性判定方法综述

稳定性判别方法：

1、劳斯稳定性判据

2、赫尔维兹稳定性判据

3、奈奎奎斯特稳定性判据

4、由伯德图判断系统的稳定性

5、根轨迹法

6、李雅普诺夫稳定性方法

代数稳定性判据有两种，劳斯稳定性判据

和赫尔维兹稳定性判据。下面简要介绍两种稳定判据。

1、劳斯稳定性判据

根据系统特征方程式

来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性、

判断依据：

1、特征方程的各项系数都不等于0；

2、特征方程各项系数符号相同；

3、劳斯表的第一列是否均大于零。

2、赫尔维兹 稳定性判据

先依据特征方程写出Δ， 系统稳定的充分必要条件：主行列式Δn及其对角线上各子行列 式Δ1，Δ2，Δ3，Δ4、、、、、、Δn-1均具有正值。

3、奈奎奎斯特稳定性 判据

根据闭环控制系统的开环频率响应（绘制幅相曲线、判断闭环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。

奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数G(s)在s复数平面

的虚轴jω上既无极点又无零点，那么有 Z=P-N。

P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。N是当角频率由ω=0变化到ω=+∞时 G（jω、的轨迹沿逆时针方向围绕实轴上点(-1，j0)的次数。如果Z=0，则闭环控制系统稳定；Z≠0，则闭环控制系统不稳定。

4、由伯德图

判断系统的稳定性

就是将奈奎斯特稳定判据由奈奎斯特图推广到伯德图上，将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制由多个环节串联组成的系统的对数频率特性图且可采用渐近线近似作图方法绘制对数幅频图，简单方便。

5、 根轨迹法

令开环函数

的一个参数——开环增益K（或另一个感兴趣的参数、从0变化到∞，与此对应特征方程的根，便在S平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。

从系统的根轨迹图，可以直观的获得下述信息:

1、稳定性：因为根轨迹全部位于左半S平面，故闭环系统对所有的K值都是稳定的。

2、稳态性能

：因为开环传函有一个位于坐标原点的'极点，所以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差

为0。

6、 李雅普诺夫稳定性方法

又可分为一二两法。

李雅普诺夫第一法是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性，其基本思路与经典控制理论一致。对于线性定常系统来说

平衡状态渐进稳定的充要条件就是矩阵

A所有特征值均具有负实部，这里所说的是系统的状态稳定性，而对于输出稳定性来说，其稳定的充要条件是其传递函数的极点全部位于s的左半平面。该方法能解决线性定常

和非线性定常系统的稳定性分析，但不能延伸至时变系统的分析。且只能解决非线性不是很严重的系统，将其线性化处理，取其近似的线性方程来判断稳定性。

第二法是从能量观点进行稳定性分析，当一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰弱，到达平衡状态时，能量将得到最小值，那么这个平衡状态是渐进稳定的。反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的，如果系统的储能既不增长也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。对于给定的一个系统，如果能找到一个正定的标量函数

V(x)，根据该函数导数即可确定能量如何随时间的变化。

李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。但由于使用此方法时要寻找一个正定的函数V（x、，并且此时V（x、的导数是负定的，那么才能说明系统稳定。所以，使用该方法的局限性就是很难找完所有的V（x、。因此，只能用该方法证明系统稳定，而不能证明系统不稳定。