Question

已知函数f（x）=-x2+mx-m．（1）若函数f（x）的值域是（-∞，0]，求实数m的值；（2）若函数f（x）在[-1，

已知函数f（x）=-x2+mx-m．（1）若函数f（x）的值域是（-∞，0]，求实数m的值；（2）若函数f（x）在[-1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=-x²+mx-m，值域是（-∞，0]，
且二次函数f（x）图象是抛物线，开口向下，
∴f（x）有且只有一个值y=0，
即△=m²-4m=0，
解得m=0，或m=4；
∴m的值为0或4．
（2）函数f（x）=-x²+mx-m图象是抛物线，开口向下，对称轴是x=

m

2

；要使f（x）在[-1，0]上是单调递减的，应满足

m

2

≤-1，∴m≤-2；
∴m的取值范围是{m|m≤-2}．
（3）当

m

2

≤2，即m≤4时，f（x）在[2，3]上是减函数，
若存在实数m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，
则有

f(2)＝3 f(3)＝2

，即

?4+2m?m＝3 ?9+3m?m＝2

，解得m不存在；
当

m

2

≥3，即m≥6时，f（x）在[2，3]上是增函数，
则有

f(2)＝2 f(3)＝3

，即

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