Question

分段函数的定义域是什么

Answer 1

分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，那么要怎么求分段函数的定义域呢？下面和我一起了解一下吧，供大家参考。

分段函数是什么

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

怎么求分段函数的定义域

定义域是函数的三要素(定义域、值域、对应法则)之一，对应法则的作用对象。指函数自变量的取值范围，即对于两个存在函数对应关系的非空集合D、M，集合D中的任意一个数，在集合M中都有且仅有一个确定的数与之对应，则集合D称为函数定义域。

所以分段函数的定义域就是每个函数的定义域的并集，要先求出每个函数的定义域然后再求所有定义域的并集。

函数类型

1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值。

某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券，每1000张奖券为一组，编号为1号至1000号，其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元，开奖时，中特等奖号码为328号，那么，一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的函数关系表示为：

0,x≠328

y={5000,x=328}

2、分界点左右的数学表达式不一样。

某商店卖西瓜，一个西瓜的重量若在4kg以下（包括4kg），则销售价格为0.6元/kg；若在4kg以上，则销售价格为0.8元/kg，那么，一个西瓜的销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为，0<x≤4。

分段函数题型

1、求函数值

例1已知函数f(x)=求f(3)的值。

解：由3∈（－∞，6），知f(3)=f(3+2)=f(5),

又5∈（－∞，6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7).

又由7∈[6，+∞）所以f(7)=7－2=5，因此，f(3)=5。

求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。

2、求函数值域

例1求函数f(x)=的值域。

解：当-2≤x≤a时，x2的取值有三种情形：

（1）当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4；

(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4；

(3)当a>2时,有0≤x2≤a2

当x>a时，-|x|的取值有两种情形：

（1）当-2≤a<0时，有-|x|≤0,

（2）当a≥0时，有－|x|<-a。

所以原函数的值域为：

（1）当-2≤a<0时,为(-∞,0]∪[a2,4]；

（2）当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4]；

（3）当a>2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]

求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。

3、函数的奇偶性

例1判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)=（2）f(x)=

解：（1）∵当x>0时，-x<0,f(x)=ex，f(-x)=-e-(-x)=-ex，

即有f(x)=-f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=-f(-x)

∴函数f(x）是奇函数。

(2)∵当x=0时，f(0)=f(-0)=0，

当x>0时，-x<0,f(x)=x(1-x)，f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x)，

即有f(x)=f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=f(-x).

∴函数f(x）是偶函数。

判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。