Question

求下列函数值域:(1)y=(sin2xsinx)/(1-cosx);(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos(π/3+x)+2cosx.

Answer 1

1)y=(sin2xsinx)/(1-cosx)=2cosxsin^2x/(1-cosx)=2cosx(1+cosx)
=2(cosx+cos^2x) =2(cosx +0.5)^2-0.5 (cosx不等于1)
-0.5=<y<2(1+0.5)^2-0.5=4
值域是[-0.5,4) 2)y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T,(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得,y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值 = -1
当T=√2时,y取得最大值 = 1/2+√2
值域[-1,1/2+√2 ] 3)y=2cos(π/3+x)+2cosx
=4sin(x+π/6)cosπ/6
=2√3sin(x+π/6)
值域[-2√3,2√3]</y<2(1+0.5)^2-0.5=4