Question

123456789……19992000除以36的余数

Answer 1

首先,36=4×9
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判断一个数是否是4的倍数,只需看它的后两位.
证明：
abcdef=abcd00+ef,
而abcd00一定是100的倍数,那么它一定是4的倍数.
因而,只需看ef是不是4的倍数即可.
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判断一个数除以9的余数,等于它所有数位上数字之和除以9的余数.
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为了排版方便,下面选取一个五位数来证明,任意多位数用10^n符号即可,方法一样.
abcde
=10000a+1000b+100c+10d+e
=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
注意到,9999a+999b+99c+9d是9的倍数,不影响除以9的余数.
证毕.
下面证明一个更为简单的方法.
判断一个数除以9的余数,可先将它任意分段,这个余数等于任意分段后所有段的数之和除以9的余数.
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证明：
我们仍然选取一个五位数,任意分段.不妨分为2、1、2.
abcde
=ab,c,de
=1000ab+100c+de
=999ab+99c+(ab+c+de)
注意到,999ab+99c是9的倍数,不影响除以9的余数.
其它分法也一样
证毕.
下面开始做题.
①123456789……19992000的后两位是00,一定是4的倍数.
不妨设为4p,p为整数.
②123456789……19992000可以分段为
1,2,3,4,5,.,1999,2000
它们的和为：
(1+2000)×2000÷2=2001000
这个和÷9的余数为：
2+0+0+1+0+0+0=3
因而,123456789……19992000÷9的余数即为3
不妨设为9q+3,q为整数.
因而,4p=9q+3
考虑这个不定方程：4x=9y+3
可以得知,x=3,y=1是一组特解,
那么x=3+9m都是方程的解.
于是p=3+9m,m是整数.
代入原数,
123456789……19992000=4p=4×(3+9m)=12+36m
因而,123456789……19992000÷36的余数即为12.
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