Question

数列An=cosnθ前n项和Sn

Answer 1

（cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cosx*cosy - sinx*siny +(sinx*cosy +cosx*siny)*i=cos(x+y)+isin(x+y) 　　令x=y=n 　　可得 (cosn+isinn)^2 = cos(2n)+isin(2n) 　　令x=n y=2n,可得 (cosn+isinn)*(cos2n+isin2n)=cos3n+isin3n
so
cosna+isinna=(cosa+isina)^n
设
bn=cosna+isinna
tn=b1+b2+...bn= b1+b1^2+b1^3+.b1^n=b1(b1^n-1)/(b1-1)=
=(cosa+cos2a+cos3a+..cosna)+i(sina+sin2a+sin3a+...sinna)
b1(b1^n-1)/(b1-1)=(cosa+isina)(cosna+isinna-1)/(cosa+isina-1)
=(cosa+isina)(cosna+isinna-1)(cosa-1-isina)/((cosa-1)^2+sina^2)
=(cosna+isinna-1)(cosa^2-cosa-isinacosa+isinacosa-isina+sina^2)/(2-2cosa)
=(cosna+isinna-1)(1-cosa-isina)/(2-2cosa)
=(cosna-cosnacosa+sinasinna-1+cosa)/(2-2cosa) +ki
=(cosa+cos2a+cos3a+..cosna)+i(sina+sin2a+sin3a+...sinna)
so
sn=(cosna-cosnacosa+sinasinna-1+cosa)/(2-2cosa)=(cosna+cosa-cos(n+1)a-1)/(2-2cosa)