Question

二阶导数的几何意义？

一阶导数的几何意义系切线的斜率，那么二阶呢，高阶呢

Answer 1

意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度
（2）函数的凹凸性。
关于你的补充：
二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。
应用：
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

Answer 2

二阶可以很方便地判断函数的凹凸性
更高阶的没有形象意义，但更深的数学研究肯定会有其意义

当然，物理中就是另外一回事
比如路程对时间求一次导是速度，求两阶是加速度，求三阶是加速度的变化率

Answer 3

二阶导数为正等价于曲线是下凸的，就是向下弯的
为负就是上凸，就是向上弯
这还关系到琴声不等式

Answer 4

意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度
（2）函数的凹凸性。

Answer 5

1、切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。
2、函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。
二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。
扩展资料：
一、相关性质：
1、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
2、判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
3、函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，
（1）若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
（2）若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
二、函数的凹凸性：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=x²y=lnx。
凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的y=x²。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0。
参考资料来源：搜狗百科－二阶导数
参考资料来源：搜狗百科-函数的凹凸性