Question

初三几何求解，在线等？

设四边形ABCD的边BC的中点为M,以M为直角顶点任作一Rt△MEF,使顶点E在AB上,顶点F在CD上。
求证:BE+CF>=EF等式成立当且仅当AB平行CD

Answer 1

令BM=CM=1，BE=a，CF=b，∠B=α，∠C=β
用复数法证明
Z_BM=Z_MC=1
Z_BE=Z_BM*a*e^(iα)=a*e^(iα)，Z_CF=Z_CM*b*e^(-iβ)=-b*e^(-iβ)
Z_ME=Z_BE-Z_BM=a*e^(iα)-1，Z_MF=Z_MC+Z_CF=1-b*e^(-iβ)
因为Z_ME与Z_MF夹角为90°
所以Z_ME/Z_MF=[a*e^(iα)-1]/[1-b*e^(-iβ)]的实部为零
Z_ME/Z_MF=[a*e^(iα)-1][1-b*e^(iβ)]/[1-b*e^(-iβ)][1-b*e^(iβ)]
={a*e^(iα)-ab*e^[i(α+β)]-1+b*e^(iβ)}/[1-b*e^(iβ)-b*e^(-iβ)+b^2]
={a*e^(iα)-ab*e^[i(α+β)]-1+b*e^(iβ)}/(1-2b*cosβ+b^2)
Re{Z_ME/Z_MF}=[a*cosα-ab*cos(α+β)-1+b*cosβ]/(1-2b*cosβ+b^2)=0
a*cosα+b*cosβ=ab*cos(α+β)+1
另外，Z_EF=Z_MF-Z_ME=1-b*e^(-iβ)-a*e^(iα)+1=2-b*e^(-iβ)-a*e^(iα)
|Z_EF|^2=[2-b*e^(-iβ)-a*e^(iα)][2-b*e^(iβ)-a*e^(-iα)]
=4-2b*e^(iβ)-2a*e^(-iα)-2b*e^(-iβ)+b^2+ab*e^[-i(α+β)]-2a*e^(iα)+ab*e^[i(α+β)]+a^2
=a^2+b^2+4+2ab*cos(α+β)-4(a*cosα+b*cosβ)
=a^2+b^2+4+2ab*cos(α+β)-4[ab*cos(α+β)+1]
=a^2+b^2-2ab*cos(α+β)
<=a^2+b^2+2ab
=(a+b)^2
|Z_EF|<=a+b，即EF<=BE+CF
当且仅当α+β=180°，即AB//CD时，等号成立