Question

求双曲线标准方程的方法

Answer 1

求双曲线标准方程的方法如下：

1、定义法。

利用定义法求双曲线的标准方程，首先要找出两个定点（即焦点）的位置或者坐标，然后根据已知条件判断是否有一动点到这两个定点的距离的差为常数，且动点到两定点的距离的差值小于两定点间的距离，则可根据双曲线的定义断定该动点的轨迹为双曲线。

从而确定 c和a 的值，再由 b2=c2-a2求出 b2，进而求双曲线标准方程。

例1：已知两定点的坐标分别为 F1-5，0，F25，0，动点 P 到定点 F1，F2的距离的差的绝对值为6，求 P  点的轨迹方程。

分析：由题意可知动点 P 到定点 F1，F2距离的差的绝对值为常数，即PF1-PF2=2a =6，且动点P 到两定点 F1，F2距离的差值小于两定点间的距离，则 P 点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义可分别求得a 、b 的值，从而求得双曲线的标准方程。

解：由题意F1F2=10> 6，PF1-PF2=6，由双曲线的定义可知，P 点的轨迹是一条双曲线.因为双曲线两焦点的坐标在 x 轴上，设方程为：x2- y2= 1a >0，b >0，因为 F1-5，0，F25，0，所以 c =5 ，又因为PF1-PF2=2a =6 <2c =10，所以 a =3，则 b2=c2-a2= 16。

所以双曲线的标准方程为：x2- y2= 1。

2、待定系数法。

利用待定系数法求双曲线的标准方程，先要明确双曲线的焦点在x 轴还是y 轴上，然后设出双曲线的标准方程，根据题意建立方程组求得a，b 的值，进而求出双曲线的标准方程如果双曲线焦点的位置不易确定。

若 a =b ，可设双曲线的方程为：x2-y2= λλ≠0；若已知双曲线的渐近线方程为± =0，可设双曲线的方程为：x2- y2= λλ≠0。

例2：双曲线经过点 P2， ，且它的一条渐近线方程为y =x ，求该双曲线的标准方程。

分析：由双曲线的渐近线方程： y =± x 可知，a =b，所以可设双曲线方程为 x2-y2= λλ≠0，将已知点的坐标代入，建立关于λ 的方程，便可解题。

解：由双曲线的一条渐近线方程为y =x，可设双曲线的方程为 x2-y2= λλ≠0，又因为双曲线经过点 P2， ，可得：λ =2，则双曲线的方程为：x2-y2=2，所以其标准方程为 x2- y2= 1。