Question

傅立叶变换的性质

Answer 1

傅里叶变换的本质，就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始碧中函数（时域），必然具有线性性。这与积分的线性性是一致的。

线性性质可用图1来概括。先变换再求和，与先求和再变换，结果是一致的。

一般情况下，N点的傅里叶变换对为：

其中，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和搭尘x(n）都为复数。与之相对的快速傅里叶变换有很多种，如DIT（时域抽取法）、DIF（频域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。对于2n傅里叶变换，Cooley－Tukey算法可悔枝山导出DIT和DIF算法。本文运用的基本思想是Cooley－Tukey算法，即将高点数的傅里叶变换通过多重低点数傅里叶变换来实现。

虽然DIT与DIF有差别，但由于它们在本质上都是一种基于标号分解的算法，故在运算量和算法复杂性等方面完全一样，而没有性能上的优劣之分，所以可以根据需要任取其中一种，本文主要以DIT方法为对象来讨论。

N=8192点DFT的运算表达式为：

式中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中n1和k2可取0,1，．．．，2047,k1和n2可取0,1,2,3。