Question

已知f(x)的导函数是根号下(-X^2+2X)求原函数？

Answer 1

∵f′（x）＝√（－x^2＋2x）＝√［1－（x－1）^2］,∴f（x）＝∫√［1－（x－1）^2］dx.
令x－1＝sinu,得：u＝arcsin（x－1）,dx＝cosudu.
∴f（x）
＝∫√［1－（sinu）^2］cosudu＝∫（cosu）^2du＝（1/2）∫（1＋cos2u）du
＝（1/2）∫du＋（1/4）∫cos2ud（2u）＝（1/2）u＋（1/4）sin2u＋C
＝（1/2）arcsin（x－1）＋（1/2）sinucosu＋C
＝（1/2）arcsin（x－1）＋（1/2）（x－1）√［1－（sinu）^2］＋C
＝（1/2）arcsin（x－1）＋（1/2）（x－1）√［1－（x－1）^2］＋C
＝（1/2）arcsin（x－1）＋（1/2）（x－1）√（2x－x^2）＋C.,2,-x^3/3+x^2,2,f '(x) = 1/ [√x √(2-x)]
f(x) = ∫ 1/ [√x √(2-x)] dx
= 2 arcsin√(x/2) + C,1,