Question

（2012?普陀区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CB的延长线上，连接DE，交AB于点F，连接DB，∠AFD

（2012?普陀区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CB的延长线上，连接DE，交AB于点F，连接DB，∠AFD=∠DBE，且DE2=BE?CE．（1）求证：∠DBE=∠CDE；（2）当BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵DE²=BE?CE，
∴

DE

CE

＝

BE

DE

．    
∵∠E=∠E，
∴△DBE∽△CDE．
∴∠DBE=∠CDE． 

（2）∵∠DBE=∠CDE，
又∵∠DBE=∠AFD，
∴∠CDE=∠AFD．
∴AB∥DC．       
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形 
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠1．       
∵DB平分∠ABC，
∴∠1=∠2．            
∴∠ADB=∠2．
∴AB=AD．        
∴四边形ABCD是菱形．