Question

（2009?大兴区一模）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．

（2009?大兴区一模）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．（1）求证：∠DCF=∠DAB；（2）求证：OE＝12CD；（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB．（1分）

（2）解：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∵AG过O点，为圆O直径，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴OE＝

1

2

BG．
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°．
∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，
∴∠DAP=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE＝

1

2

CD．（4分）

（3）解：（2）的结论成立．
证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴OE＝

1

2

BG．
由（1）证明可知，∠PDA=∠G，
∴∠PAD=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE＝

1

2

CD．（7分）