已知函数f(x)=loga1?mxx?1(a>0,a≠1)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)

已知函数f(x)=loga1?mxx?1(a>0,a≠1)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)当x∈(n,a-... 已知函数f(x)=loga1?mxx?1(a>0,a≠1)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值. 展开
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隐诜怾u
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(1)∵函数f(x)=loga
1?mx
x?1
(a>0,a≠1)是奇函数.
∴f(-x)+f(x)=0解得m=-1.
(2)由(1)及题设知:f(x)=loga
x+1
x?1

t=
x+1
x?1
x?1+2
x?1
=1+
2
x?1

∴当x1>x2>1时,t1?t2
2
x1?1
?
2
x2?1
2(x2?x1)
(x1?1)(x2?1)

∴t1<t2
当a>1时,logat1<logat2,即f(x1)<f(x2).
∴当a>1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数.
同理当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.

(3)由题设知:函数f(x)的定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1),
∴①当n<a-2≤-1时,有0<a<1.由(1)及(2)题设知:f(x)在为增函数,由其值域为(1,+∞)知
loga
1+n
n?1
=1
a?2=?1
(无解);
②当1≤n<a-2时,有a>3.由(1)及(2)题设知:f(x)在(n,a-2)为减函数,由其值域为(1,+∞)知
n=1
loga
a?1
a?3
=1

a=2+
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