Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求三棱锥H-BDF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，
所以 ED⊥平面ABCD，…（3分）
又因为AC?平面ABCD，
所以ED⊥AC．
因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．…（5分）
（Ⅱ）解：取BC得中点P，连接DP．
因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
所以△DBC为等边三角形，所以DP⊥BC，
且DP＝

3

2

BC＝

3

．…（7分）
又由（1）知FB⊥平面ABCD且DP?平面ABCD，
所以DP⊥FB，又FB∩BC=B，
所以DP⊥平面FBC，S△BFH＝

1

2

S△BFC＝

1

2

×

1

2

×BC×BF＝

3

2

，…（10分）
所以VH?BDF＝VD?BFH＝

1

3

×S△BFH×DP＝

1

3

×

3

2

×

3

＝

3

2

．…（12分）