Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，并与x

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是第二象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？最大面积是多少？（3）当（2）中点P运动到△PAB的面积最大时，x轴上是否存在点D，使△PDB的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，4）抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，可得

?16?4b+c＝0 c＝4

，解得

b＝?3 c＝4

，
∴抛物线解析式为y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，
∴C（1，0）．
（2）如图1，

设y=x+b与抛物线y=-x²-3x+4只有一个交点时，△PAB的面积最大，
∵由x+b=-x²-3x+4化简x²+4x+b-4只有一个解，得△=16-4×（b-4）=32-4b=0，解得b=8．
∴y=x+8，
∴联立得方程组得

y＝x+8 y＝?x2?3x+4

，
解得

x＝?2 y＝6

，
∴P（-2，6）
过点B作BM⊥PN交PN于点M，
∵BN=ON-OB=8-4=4，sin∠MNB=

2

2

，
∴BM=4×

2

2

=2

2

，
△PAB的面积=

1

2

AB?BM=

1

2

×4

2

×2

2

=8．
（3）存在．
如图2，

连接BP，作点B关于原点O的对称点B′，连接B′P，交x轴于点D，这时△PDB的周长最小．
∵点B（0，4），
∴点B′（0，-4），
∵P（-2，6）
∴设PB′所在的直线为y=kx+b得

?4＝b 6＝?2k+b

，
解得

k＝?5 b＝?4

∴PB′所在的直线为y=-5x-4，
点D的坐标为（-

4

5

，0）．