Question

如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F。试说明∠BEN=∠NFC

Answer 1

证明：如图：连BD 并取BD的中点于K，连MK、NK

                          因为DM=MA, DK=KB

                         所以MK是△DAB的中位线

              所以MK=AB/2 ，MK‖AB 即 MK‖BE

                                        所以∠1=∠3 （两直线平行，同位角相等）

                       同理：NK=CD/2 ，NK‖CD 即 NK‖CF

                                        所以∠2=∠4

                              因为 AB=CD, 所以  AB/2=CD/2

                              所以MK=NK

                              所以 ∠3=∠4

                               所以 ∠1=∠2，  即：∠BEN=∠NFC 

                                             证毕！

Answer 2

连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．
∵N是CD的中点，且NG∥AD，
∴AD=2NG，G是AC的中点，
又∴M是AB的中点，
∴MG∥BC，且BC=2MG
∵AD=BC，
∴NG=GM，
△GNM为等腰三角形，
∴∠GNM=∠GMN，
∵GM∥BF，
∴∠GMF=∠F，
∵GN∥AD，
∴∠GNM=∠DEN，
∴∠DEN=∠F．

Answer 3

连接AC，取AC的中点P，连接PM，PN
∵M是AD的中点，P是AC的中点
∴PM是三角形ACD的中位线
∴ PM//CD，PM=1/2CD
∴ ∠PMN=∠NFC
同理 PN//AB，PN=1/2AB
∴∠PNM=∠BEN
∵AB=CD，PM=1/2CD，PN=1/2AB
∴PM=PN
∴∠PMN=∠PNM
∵∠PMN=∠NFC，∠PNM=∠BEN
∴∠BEN=∠NFC