Question

如何利用逆矩阵解线性方程组

如何利用逆矩阵解线性方程组

Answer 1

综述：

线性方程组可以写成AX=b 其中A是系数矩阵，x为所要解的列向量，b为等号右边的数所构成的列向量，等式两边同时乘以A-1（就是A的逆矩阵）可得，A-1AX=A-1b,即Ex=A-1b,即x=A-1B.，然后利用对增广矩阵【A|B】进行初等变换，变成【E|A-1B】，就解出了x。

定理：

（1）逆矩阵的唯一性。

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。

推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

Answer 2

线性方程组可以写成AX=b 其中A是系数矩阵，x为所要解的列向量，b为等号右边的数所构成的列向量，等式两边同时乘以A-1（就是A的逆矩阵）可得，A-1AX=A-1b,即Ex=A-1b,即x=A-1B.，然后利用对增广矩阵【A|B】进行初等变换，变成【E|A-1B】，就解出了x。