Question

有关两道高等数学的证明题

以上为两道证明题

Answer 1

1. (1)证明:
构造函数g(x)=f(x+1/2)-f(x)
则g(0)=f(1/2)-f(0)
g(1/2)=f(1)-f(1/2)
∵f(0)=f(1)
∴g(0)=-g(1/2)

(a) 若g(0)=g(1/2)=0，则f(1/2)=f(0)=f(1)
x=0或1/2时，f(x)=f(x+1/2)
(b)若g(0)≠0,g(1/2)≠0，则g(0)和g(1/2)异号
∵f(x)在[0,1]上连续
∴g(x)在[0,1/2]上连续
∴由介值定理知，存在x∈(0,1/2)包含于(0,1)，使g(x)=0
即f(x)=f(x+1/2)

综上可知，存在x∈[0,1]，使即f(x)=f(x+1/2)

(2)证明：
构造函数g(x)=f(x+1/n)-f(x)
则g(x)在[0,1-1/n]上连续
g(0)+g(1/n)+g(2/n)+...+g(1-1/n)
=[f(1/n)-f(0)]+[f(2/n)-f(1/n)]+...+[f(1)-f(1-1/n)]
=f(1)-f(0)=0

(a)若g(0),...,g(1-1/n)均为0,那么令x=0,1/n,...1-1/n满足
f(x)=f(x+1/n)
(b)若存在g(a)≠0，不妨设g(a)>0
则至少存在一个g(b)<0
∴由介值定理知，存在x∈(a,b)包含于(0,1)
使g(x)=0
即f(x+1/n)-f(x)=0
f(x)=f(x+1/n)

2. 证明思路同上题
证明：
构造函数g(x)=f(x+1)-f(x)
则g(x)在[0,n-1]上连续
g(0)+g(1)+g(2)+...+g(n-1)
=[f(1)-f(0)]+[f(2)-f(1)]+...+[f(n)-f(n-1)]
=f(n)-f(0)=0

(a)若g(0),...,g(n-1)均为0,那么ε=0,1,...,n-1均满足
f(ε)=f(ε+1)
(b)若存在g(a)≠0，不妨设g(a)>0
则至少存在一个g(b)<0
∴由介值定理知，存在ε∈(a,b)包含于(0,n)
使g(ε)=0
即f(ε+1)-f(ε)=0
f(ε)=f(ε+1)