Question

AD为三角形ABC的中线，角ADB的平分线交AB于点E，角ADC的平分线交AC于点F。求证：BE+CF》EF

Answer 1

【证法1】

延长FD到G，使DG=DF，连接BG、EG。

∵AD是中线

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，DG=DF

∴△BDG≌△CDF（SAS）

∴BG=CF

∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC

∴∠ADE=1/2∠ADB，∠ADF=1/2∠ADC

∵∠ADB +∠ADC =180°

∴∠ADE +∠ADF =90°

∴∠EDF=90°

∴DE垂直平分FG

∴EF=EG

∵在△BEG中，BE+BG＞EG

∴BE+CF＞EF

【证法2】

在AD上截取BG=BD，连接EG，FG。

∵DE平分∠ADB

∴∠BDE=∠GDE

又∵BD=DG，DE=DE

∴△BDE≌△GDE（SAS）

∴BE=EG

∵AD是中线

∴BD=CD

∴CD=DG

∵DF平分∠ADC

∴∠CDF=∠GDF

又∵CD=DG，DF=DF

∴△CDF≌△GDF（SAS）

∴CF=FG

∵在△EFG中，EG+FG＞EF

∴BE+CF＞EF