AD为三角形ABC的中线,角ADB的平分线交AB于点E,角ADC的平分线交AC于点F。求证:BE+CF》EF

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【证法1】

延长FD到G,使DG=DF,连接BG、EG。

∵AD是中线

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF,DG=DF

∴△BDG≌△CDF(SAS)

∴BG=CF

∵DE平分∠ADB,DF平分∠ADC

∴∠ADE=1/2∠ADB,∠ADF=1/2∠ADC

∵∠ADB +∠ADC =180°

∴∠ADE +∠ADF =90°

∴∠EDF=90°

∴DE垂直平分FG

∴EF=EG

∵在△BEG中,BE+BG>EG

∴BE+CF>EF

【证法2】

在AD上截取BG=BD,连接EG,FG。

∵DE平分∠ADB

∴∠BDE=∠GDE

又∵BD=DG,DE=DE

∴△BDE≌△GDE(SAS)

∴BE=EG

∵AD是中线

∴BD=CD

∴CD=DG

∵DF平分∠ADC

∴∠CDF=∠GDF

又∵CD=DG,DF=DF

∴△CDF≌△GDF(SAS)

∴CF=FG

∵在△EFG中,EG+FG>EF

∴BE+CF>EF

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