Question

如图所示，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AF于点F，求证

如图所示，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AF于点F，求证：AE=2BF．

Answer 1

解：延长线段BF与AC的延长线交于点M．
∵AF为∠BAC的平分线，BF⊥AF，
∴AM=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠AEC=90°-∠CAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠M=∠AEC=67.5°，
在△ACE与△BCM中，

∠M＝∠AEC ∠ACE＝∠BCM AC＝BC

，
∴△ACE≌△BCM（AAS），
∴AE=BM=2BF．