Question

如图，直线AB∥CD．（1）在图1中，∠BME、∠E，∠END的数量关系为：______；（不需证明）在图2中，∠BMF

如图，直线AB∥CD．（1）在图1中，∠BME、∠E，∠END的数量关系为：______；（不需证明）在图2中，∠BMF、∠F，∠FND的数量关系为：______；（不需证明）（2）如图3，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E与∠F互补，求∠FME的大小．（3）如图4中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠FEQ的度数．

Answer 1

（1）如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠BME=∠1，∠END=∠2，
∴∠1+∠2=∠BME+∠END，
即∠E=∠BME+∠END；
如图2，∵AB∥CD，
∴∠3=∠FND，
∴∠BMF=∠F+∠3=∠F+∠FND，
即∠BMF=∠F+∠FND；
故答案为：∠E=∠BME+∠END；∠BMF=∠F+∠FND；

（2）如图3，设∠END=x°，∠BNE=y°，
由（1）的结论可得x+y=∠E，2x+∠F=y，
消掉x得，3y=2∠E+∠F，
∵2∠E与∠F互补，
∴2∠E+∠F=180°，
∴3y=180°，
解得y=60°，
∵MB平分∠FME，
∴∠FME=2y=2×60°=120°；

（3）由（1）的结论得，∠MEN=∠BME+∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN=

1

2

∠MEN=

1

2

（∠BME+∠END），
∠ENP=

1

2

∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ=∠ENP，
∴∠FEQ=∠FEN-∠NEQ=

1

2

（∠BME+∠END）-

1

2

∠END=

1

2

∠BME，
∵∠BME=60°，
∴∠FEQ=

1

2

×60°=30°．