Question

已知函数f(x)=(x²－ax＋a)e的x次方－x²，a∈R。(1)若f(x)在x=1处取得极值，

已知函数f(x)=(x²－ax＋a)e的x次方－x²，a∈R。(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值。(2)若f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围

Answer 1

答：
f(x)=(x²-ax+a)e^x -x²
f'(x)=(x²-ax+a+2x-a)e^x -2x
f'(x)=(x²+2x-ax)e^x-2x
f''(x)=(x²+2x-ax+2x+2-a)e^x -2
f''(x)=(x²+4x-ax+2-a)e^x -2
1)
x=1处取得极值，则f'(1)=0，f''(1)≠0
所以：f'(1)=(3-a)e-2=0
解得：a=3-2/e
2）
f(x)在x>0时单调递增，则f'(x)>=0
所以：f'(x)=(x²+2x-ax)e^x-2x>=0
因为：x>0
所以：(x+2-a)e^x>=2
所以：x+2-a>=2e^(-x)
所以：a<=x+2-2e^(-x)
设g(x)=x+2-2e^(-x)
g'(x)=1+2e^(-x)>0恒成立
所以：g(x)在x>0时单调递增
所以：g(x)>g(0)=a
所以：a<=g(0)=0+2-2=0
所以：a<=0