Question

如何理解不定积分？

Answer 1

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

所以你这个不定积分没有初等原函数表达式，也就是通俗意义上的"积不出"。但它在0到正无穷上的积分值为√π/2。是著名的高斯积分。

Answer 2

不定积分是微积分中的一个重要概念，它是原函数的概念。对于一个给定的函数f(x)，如果它在某个区间上有原函数F(x)，那么我们把F(x)称作f(x)在该区间上的一个不定积分。

符号上，我们用∫f(x)dx表示f(x)的不定积分，其中∫表示积分符号，f(x)表示被积函数，dx表示对自变量x求积分。不定积分的结果是一个函数，而不是一个数值，因为一个函数可以有无数个原函数。

不定积分的本质是求导的逆运算，也就是说，如果F(x)是f(x)的一个不定积分，则F'(x) = f(x)。因此，我们可以通过求导的方式来验证一个函数是否是另一个函数的原函数，从而求出它的不定积分。

不定积分在微积分的应用中非常广泛，可以用来求解曲线的面积、求解定积分、求解微分方程等问题。