Question

过椭圆x²/9＋y²/4＝1上一点M作圆x²＋y²＝2的两条切线，点A,B为切点，过A,B的直线l

过椭圆x²/9＋y²/4＝1上一点M作圆x²＋y²＝2的两条切线，点A,B为切点，过A,B的直线l与x轴，y轴分别交于P,Q两点，则△POQ的面积最小值为？

Answer 1

设 M（3cosa，2sina）是椭圆上一点，过 M 向圆作切线切于 A、B ，
则直线 AB 的方程为 3cosa*x+2sina*y = 2 ，
令 x = 0 得直线在 y 轴上截距为 1/sina ，
令 y = 0 得直线在 x 轴上截距为 2/(3cosa) ，
所以三角形 POQ 的面积 S = 1/2*|1/sina|*|2/(3cosa)| = 1/|3sinacosa| = 2 / |3sin(2a)| ，
当 sin(2a) 取最大值 1 时，所求面积最小值为 2/3 。

追问

AB方程怎么求的？

追答

这是一个公式。
设 （x0，y0）是圆 x^2+y^2=2 上任一点，
则过该点的圆的切线方程为 x0*x+y0*y = 2 （这个结论知道吧？？），
因此过 A（x1，y1）、B（x2，y2）的圆的切线方程分别为
x1*x+y1*y = 2 ，x2*x+y2*y = 2 ，
因为两切线都过点 M ，所以 x1*3cosa+y1*2sina = 2 ，x2*3cosa+y2*2sina = 2 ，
以上两式说明，点 A、B 的坐标都满足方程 x*3cosa+y*2sina = 2 ，
所以直线 AB 的方程为 3cosa*x + 2sina*y = 2 。

追问

就是这个公式记不得所以求不出！谢谢啦！！

Answer 2

这是短发是事实上事实上事实上事实上事实上事实上事实上事实上事实上