Question

若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞1）内有圆x²+y²=1，该圆的切线

与椭圆交于A、B两点，且满足向量OA·向量OB=0，则9a²+16b²的最小值为。。。

Answer 1

解答：如附件，总之一个思想就是利用直线与圆或者椭圆的方程的交点（方程的根）来解题，并且利用向量垂直时的乘积为0。

Answer 2

圆的切线：xcosu+ysinu=1,
即y=(1-xcosu)/sinu,①
代入椭圆方程:b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2得
b^2x^2+a^2*(1-xcosu)^2/(sinu)^2=a^2b^2,
∴b^2x^2(sinu)^2+a^2*[1-2xcosu+x^2(cosu)^2]=a^2b^2(sinu)^2,
整理得[b^2(sinu)^2+a^2(cosu)^2]x^2-2a^2xcosu+a^2-a^2b^2(sinu)^2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2a^2*cosu/[b^2(sinu)^2+a^2(cosu)^2],
x1x2=[a^2-a^2b^2(sinu)^2]/[b^2(sinu)^2+a^2(cosu)^2],
由①，y1y2=(1-x1cosu)(1-x2cosu)/(sinu)^2
=[1-(x1+x2)cosu+x1x2(cosu)^2]/(sinu)^2,
由0=向量OA*OB=x1x2+y1y2得
x1x2-(x1+x2)cosu+1=0,
∴a^2-a^2b^2(sinu)^2-2a^2*(cosu)^2+b^2(sinu)^2+a^2(cosu)^2=0,
∴a^2+b^2=a^2b^2,b^2=a^2/(a^2-1),
∴9a^2+16b^2=9a^2+16+16/(a^2-1)
=9(a^2-1)+16/(a^2-1)+25
>=24+25=49,当a^2-1=4/3,a^2=7/3，b^2=7/4时取等号，
∴所求最小值=49.

Answer 3

设切线的斜率为k，方程为y=kx+b，

——》原点到直线的距离h=b/√(k^2+1)=1，
——》b=√(k^2+1)，即切线方程为：y=kx+√(k^2+1)，
代入椭圆方程：x^2/a^2+[kx+√(k^2+1)]^2/b^2=1，
整理得：(k^2+b^2/a^2)x^2+2k√(k^2+1)x+k^2+1-b^2=0，
——》xa*xb=(k^2+1-b^2)/(k^2+b^2/a^2)，
xa+xb=-2k√(k^2+1)/(k^2+b^2/a^2)，
ya*yb=[kxa+√(k^2+1)][kxb+√(k^2+1)]=k^2xaxb+k√(k^2+1)(xa+xb)+k^2+1，
向量OA·向量OB=0，——》xa*xb+ya*yb=0，

——》(k^2+1)xaxb+k√(k^2+1)(xa+xb)+k^2+1=0，
——》(k^2+1)(k^2+1-b^2)/(k^2+b^2/a^2)-2k^2(k^2+1)/(k^2+b^2/a^2)+(k^2+1)=0
整理得：1/a^2+1/b^2=1，
令1/a^2=s，1/b^2=t，则：
s+t=1，——》ds+dt=0，
m=9a^2+16b^2=9/s+16/t，——》dm=-9ds/s^2-16dt/t^2=(9/s^2-16/t^2)dt，
m取最小值，则：dm=0，——》9/s^2-16/t^2=9/s^2-16/(1-s)^2=0，
整理得：7s^2+18s-9=(s+3)(7s-3)=0，
——》s=3/7，——》t=4/7，
——》m最小=9/s+16/t=49，
即9a^2+16b^2的最小值为49。