Question

设f(x)二阶可导，f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=2，求[f(x)-x]/(x^2)在x趋于0时的极限？

图片是我用导数定义求的极限，可是结果和答案里用洛必达做出来的不一样，我看不出来是哪个步骤出错了，求各位大神指点一下，谢谢

Answer 1

这里涉及到极限式子不能首先对部分求极限问题。以下面式子为例，你认为f'(0)=f(x)/x是错误的，它等于limf(x)/x，你这样随意的忽略了极限本身就是错误的。

以f(x)=sin(x)为例，f'(0)=1, 但是在x->0取极限前f(x)/x=1处处不成立

Answer 2

首先我们可以将分式 [f(x)-x]/(x^2) 分解为两个分式进行求导，即：
[f(x)/x - 1]/x
对于极限，我们可以利用洛必达法则进行求解，步骤如下：
lim(x->0) [f(x)/x - 1]/x
= lim(x->0) [f'(x)/1 - 0]/1x + lim(x->0) [f(x)/x^2]/2
= lim(x->0) f'(x)/x + lim(x->0) [f(x)/x^2]/2
= lim(x->0) [f''(x)/1]/1 + lim(x->0) [2f(x)/x^3]/2
= f''(0)/1 + lim(x->0) [2f(x)/x^3]/2
= 2 + lim(x->0) [2f(x)/x^3]/2
因此，我们只需要求出 lim(x->0) [2f(x)/x^3]/2 的值即可。
根据题目中的条件，有：
f(0) = 0, f'(0) = 1, f''(0) = 2
利用泰勒公式，可以得到：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2 + R2(x)
其中 R2(x) 是 Lagrange 余项，满足：
R2(x) = f''(c)x^2/2
其中 c 介于 0 和 x 之间。
因此，我们可以得到：
[f(x) - x]/x^2
= [f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2 + R2(x) - x]/x^2
= [f'(0)x + f''(0)x^2/2 + R2(x)]/x^2
= [x + f''(c)x^2/2]/x^2 (根据 f'(0) = 1)
= 1/x + f''(c)/2
因此：
lim(x->0) [2f(x)/x^3]/2
= lim(x->0) [f''(c)/x]/2
= lim(x->0) [f''(c)/x^2]
= f''(0)
= 2
因此，最终的极限值为 2。

Answer 3

根据洛必达法则，可以将极限转化为求导数的极限：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-x}{x^2}&=\lim_{x\to 0}\frac{(f(x)-x)'}{(x^2)'}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-1}{2x}\\
&=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}\\
&=\frac{1}{2}f''(0)\\
&=\boxed{1}
\end{aligned}
$$

其中，倒数第二步用到了导数的定义。