Question

设函数f (x)在[0 ,1]上二阶可导,f (0) = f (1) = 0,且f (x)在[0 ,1]上的最小值为-1

设函数f (x)在[0 ,1]上二阶可导,f (0) = f (1) = 0,且f (x)在[0 ,1]上的最小值为-1,
证明：存在c使得f''(c)>=8

能不能完整的解答一下 尤其是最后这个8是怎么推出来的，我是用拉格朗日推导下来的，但最后实在有问题谢谢！

Answer 1

拉格朗日定理最多能证明到f''(c)>4,无法证明f''(c)≥8
(1)在[0,1]上使用罗尔中值定理
根据罗尔中值定理，结合二阶可导，最小值为-1，知，存在一点0<m<1，使得：
f（m）=-1，f'(m)=0
（2）在[0,m]使用拉格朗日中值定理
存在0<ξ1<m,f'(ξ1)=[f(m)-f(0)]/(m-0)=-1/m
(3)在[m,1]使用拉格朗日中值定理
存在m<ξ2<1,f'(ξ2)=[f(1)-f(m)]/(1-m)=1/(1-m)
(4)在[ξ1,m]对于f'(x)使用格朗日中值定理
存在0<ξ1<ζ1<m,f''(ζ1)=[f'(m)-f'(ξ1)]/(m-ξ1)=1/[m(m-ξ1)]
m-ξ1<m,1/m<1/(m-ξ1),1/(m-ξ1)>1/m,f''(ζ1)=1/[m(m-ξ1)]>1/m²
(5)在[m,ξ2]对于f'(x)使用格朗日中值定理
存在m<ζ2<ξ2<1,f''(ξ2)=[f'(ξ2)-f'(m)]/(ξ2-m)=1/[(1-m)(ξ2-m)]
m<ξ2<1,同时减去m，0<ξ2-m<1-m，1/（1-m）<1/(ξ2-m),1/(ξ2-m)>1/（1-m）
∴f''(ξ2)=1/[(1-m)(ξ2-m)]>1/（1-m）²
m与1-m中必有一个≤1/2，
∴f''(ζ1)>1/m²≥4，或者f''(ξ2)>1/（1-m）≥4
用这个方法不能得到存在f''(c)≥8的结论。

Answer 2