设函数f(x)在[0，a]上二阶可导，并有|f (x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得最大值，证明 |f(0)|+|f(a)|≤Ma
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【答案】：由于f(x)在[0，a]上可导，且f(x)在(0，a)内取得最大值，设最大值点为x0，则必有
f'(x0)=0
由题设条件可知f'(x)在[0，x0]，[x0，a]上满足拉格朗日中值定理，因此可知存在ξ1∈(0，x0)，ξ2∈(x0，a)，使得
f'(x0)-f'(0)=f"(ξ1)x0，
f'(a)-f'(x0)=f"(ξ2)(a-x0)，从而-f'(0)=f"(ξ1)x0，|f'(0)|=|f"(ξ1)|x0≤Mx0；f'(a)=f"(ξ2)(a-x0)，|f'(a)|=|f"(ξ2)|(a-x0)≤M(a-x0)；因此
|f'(0)|+|f'(a)|≤Mx0+M(a-x0)=M由题设条件与结论可以看出，需求f"(x)与f'(0)，f'(a)的关系
f'(x0)=0
由题设条件可知f'(x)在[0，x0]，[x0，a]上满足拉格朗日中值定理，因此可知存在ξ1∈(0，x0)，ξ2∈(x0，a)，使得
f'(x0)-f'(0)=f"(ξ1)x0，
f'(a)-f'(x0)=f"(ξ2)(a-x0)，从而-f'(0)=f"(ξ1)x0，|f'(0)|=|f"(ξ1)|x0≤Mx0；f'(a)=f"(ξ2)(a-x0)，|f'(a)|=|f"(ξ2)|(a-x0)≤M(a-x0)；因此
|f'(0)|+|f'(a)|≤Mx0+M(a-x0)=M由题设条件与结论可以看出，需求f"(x)与f'(0)，f'(a)的关系
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