Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ．且满足S n =2a n -1（n∈N + ）（I）求证：数列{a n }是等比数列；（II

已知数列{a n }的前n项和为S n ．且满足S n =2a n -1（n∈N + ）（I）求证：数列{a n }是等比数列；（II）数列{b n }满足b n+1 ．=a n +b n n∈N + ．且b 1 =3．若不等式 log 2 ( b n -2) ＜ 3 16 n 2 +t 对任意n∈N + 恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（ I）证明：依题意可得S n+1 =2a n+1 -1…①，S n =2a n -1…② ①-②，得a n+1 =2a n+1 -2a n 化简得 a n+1 a n =2(n∈ N * ) ， ∵a 1 =2a 1 -1， ∴a 1 =1 ∴数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列． （II）由（Ⅰ）可知a n =2 n-1 ，因为b n+1 =a n +b n ，n∈N + ．且b 1 =3， 所以b n =a n-1 +b n-1 =a n-1 +a n-2 +b n-2 =…=a n-1 +a n-2 +…+a 1 +b 1 =2 n-2 +2 n-3 +…+1+3=2 n-1 +2， 因为不等式 log 2 ( b n -2) ＜ 3 16 n 2 +t 对任意n∈N + 恒成立， 所以 log 2 ( 2 n-1 +2-2) ＜ 3 16 n 2 +t ， 即t ＞- 3 16 n 2 +n-1 ，对任意n∈N + 恒成立， 因为 - 3 16 n 2 +n-1≤ 5 16 ，且n=3时 - 3 16 n 2 +n-1 取得最大值 5 16 ． 所以t ＞ 5 16 ． 所以实数t的取值范围： ( 5 16 ，+∞) ．