Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，满足a n +S n =2n．（Ⅰ）证明：数列{a n -2}为等比数列，并求出a n ；

已知数列{a n }的前n项和为S n ，满足a n +S n =2n．（Ⅰ）证明：数列{a n -2}为等比数列，并求出a n ；（Ⅱ）设b n =（2-n）（a n -2），求{b n }的最大项．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由a 1 +s 1 =2a 1 =2得a 1 =1； 由a n +S n =2n得 a n+1 +S n+1 =2（n+1） 两式相减得2a n+1 -a n =2，即2a n+1 -4=a n -2，即a n+1 -2= 1 2 （a n -2） 是首项为a 1 -2=-1，公比为 1 2 的等比数列．故a n -2=- ( 1 2 ) n-1 ，故a n =2- ( 1 2 ) n-1 ，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 b n =(2-n)?(-1)?( 1 2 ) n-1 =(n-2)?( 1 2 ) n-1 由 b n+1 - b n = n-1 2 n - n-2 2 n-1 = n-1-2n+4 2 n = 3-n 2 n ≥0得n≤3 由b n+1 -b n ＜0得n＞3，所以b 1 ＜b 2 ＜b 3 =b 4 ＞b 5 ＞…＞b n 故b n 的最大项为 b 3 = b 4 = 1 4 ．