Question

已知数列{a n }的前n项和是S n ，且2S n +a n =1（n∈N * ）．（Ⅰ） 求证：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ

已知数列{a n }的前n项和是S n ，且2S n +a n =1（n∈N * ）．（Ⅰ） 求证：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ） 记b n =10+log 9 a n ，求{b n }的前n项和T n 的最大值及相应的n值．

Answer 1

（Ⅰ） 2s n +a n =1，2s n-1 +a n-1 =1（n≥2，n∈N*）相减得3a n =a n-1 （3分） 又2s 1 +a 1 =1得 a 1 = 1 3 ∴a n ≠0（5分） ∴ a n a n-1 = 1 3 (n≥2，n∈ N * ) ∴数列{a n }是等比数列 （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a n }是等比数列， a n =( 1 3 ) n b n =10+lo g  9 a n =10- 1 2 n ，（10分） 当T n 最大值时   b n ≥0 b n+1 ≤0 ?19≤n≤20 ∵n∈N * ，∴n=19或n=20（12分） ∴ ( T n ) max = T 19 = T 20 = 20× 19 2 2 =95 （14分）