Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，S n =2a n -3n（n∈N * ）．（1）证明数列{a n +3}是等比数列，求出数列

已知数列{a n }的前n项和为S n ，S n =2a n -3n（n∈N * ）．（1）证明数列{a n +3}是等比数列，求出数列{a n }的通项公式；（2）设b n = n 3 a n ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）证明：因为S n =2a n -3n，所以S n+1 =2a n+1 -3（n+1）， 则a n+1 =2a n+1 -2a n -3，所以a n+1 =2a n +3， 所以a n+1 +3=2（a n +3）， 因为n=1时，a 1 =S 1 =2a 1 -3，所以a 1 =3，所以a 1 +3=6， 所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列； 所以a n +3=6?2 n-1 =3?2 n ， 所以a n =3?2 n -3； （2）b n = n 3 a n =n?2 n -n，则T n =（1?2 1 +2?2 2 +…+n?2 n ）-（1+2+…+n） 令T n ′=1?2 1 +2?2 2 +…+n?2 n ，则2T n ′=1?2 2 +2?2 3 +…+n?2 n+1 ， 两式相减可得-T n ′=1?2 1 +1?2 2 +1?2 3 +…+1?2 n -n?2 n+1 =2 n+1 -2-n?2 n+1 ， ∴T n ′=（n-1）?2 n+1 +2， ∴T n =（n-1）?2 n+1 +2- n(n+1) 2 ．