Question

（2011?和平区二模）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AA1=2CD=

（2011?和平区二模）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AA1=2CD=2，点P为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：D1P∥平面A1BC；（Ⅱ）求证：D1P⊥平面AB1D；（Ⅲ）求异面直线A1C与D1P所成的角．

Answer 1

（Ⅰ）如图，延长DC，D₁P相交于点E，连接BE；
∵P为CC₁中点，且PC∥DD₁；
∴PC=

1

2

DD1，DE=2CD=AB，AB∥CD；
∴四边形ABED为平行四边形；
∴AD∥BE∥A₁D₁，且AD=BE=A₁D₁；
∴四边形A₁BED₁是平行四边形；
∴D₁E∥A₁B，即D₁P∥A₁B，A₁B?平面A₁BC，D₁P?平面A₁BC；
∴D₁P∥平面A₁BC．
（Ⅱ）∵D₁D⊥底面ABCD，AD?平面ABCD；
∴D₁D⊥AD，即AD⊥D₁D；
又AD⊥CD，D₁D平面D₁DE，CD?平面D₁DE，且CD∩D₁D=D；
∴AD⊥平面D₁DE，D₁E?平面D₁DE；
∴AD⊥D₁E，即D₁P⊥AD；
∵A₁B₁BA是正方形；
∴A₁B⊥AB₁，∴D₁P⊥AB₁，AB₁∩AD=A；
∴D₁P⊥平面AB₁D．
（Ⅲ）∵D₁P∥A₁B，∴∠BA₁C是异面直线A₁C与D₁P所成的角；
连接CD₁，则△A₁CD₁是Rt△；
A1D1＝2，CD1＝

5

，∴A₁C=3；
A1B＝2

2

，BC＝

5

；
∴由余弦定理得：cos∠BA₁C=

8+9?5

12 2

＝

2

2

；
∴∠BA₁C=45°，即异面直线A₁C与D₁P所成的角为45°．