Question

已知：如图所示，点C在线段AB上，分别以AC、BC为一边作为等边△ACM和等边△BCN，连接AN、BM．（1）求证：

已知：如图所示，点C在线段AB上，分别以AC、BC为一边作为等边△ACM和等边△BCN，连接AN、BM．（1）求证：AN=BM；（2）设AN、BM相交于点D，求证：∠ADB=120°；（3）如果A、C、B三点不在同一直线上，那么AN=BM是否仍然成立？如果成立，加以证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ACM和△BCN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠MCN=60°，
∴∠ACN=∠BCM=120°，
∵在△ACN和△MCB中，

CA＝CM ∠ACN＝∠MCB CN＝CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∵∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°，
∴∠MBCC+∠NAC=60°
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-60°=120°；

（3）解：AN=BM仍然成立．理由如下：
∵△ACM和△BCN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中，

CA＝CM ∠ACN＝∠MCB CN＝CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

Answer 2

（1）证明：∵△ACM和△BCN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠MCN=60°，
∴∠ACN=∠BCM=120°，
∵在△ACN和△MCB中，

CA＝CM ∠ACN＝∠MCB CN＝CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∵∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°，
∴∠MBCC+∠NAC=60°
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-60°=120°；

（3）解：AN=BM仍然成立．理由如下：
∵△ACM和△BCN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中，

CA＝CM ∠ACN＝∠MCB CN＝CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．