Question

如图所示，AB．CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面间的夹角为θ，

如图所示，AB．CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面间的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B1，在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根质量为m．垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，已知金属棒ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计．求：（1）此过程中金属棒ab的最大速度？（2）若金属棒ab下滑到速度最大时，通过的位移为x0，此过程中通过电阻R的电荷量为多少？安培力对金属棒ab所做的功是多大？

Answer 1

解答：解：（1）金属棒ab下滑时因切割磁感线，产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律可得：
E=B₁Lv
闭合电路中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律可得：
I=

E

R

金属棒ab所受的安培力F安方向如右图所示，其大小为：
F_安=B₁IL
由以上三式可得：
F_安=

B 2 1 L2 v

R

   
以金属棒ab为研究对象，根据牛顿第二定律，有：
mgsin θ-μmgcos θ-

B 2 1 L2 v

R

=ma
金属棒ab做加速度减小的加速运动，当a=0时速度达到最大值v_m
即mgsin θ-μmgcos θ-

B 2 1 L2 vm

R

=0
可解得：
v_m=

mgR

B 2 1 L2

(sinθ?μcosθ)
（2）由法拉第电磁感应定律，平均感应电动势：
E=

△Φ

△t

平均电流：
I=

q

△t

通过电阻R的电荷量：
q=I?△t=

E

R

?△t=

△Φ

R

=

B1Lx0

R

    
金属棒ab下滑过程中重力势能减少E_p=mgx₀sin θ，动能增加E_k=

1

2

mv_m²，摩擦产生的热量Q′=μmgx₀cos θ
由能量守恒定律可知，电阻R产生的电热：
Q=E_p-E_k-Q′
根据功能关系，在金属棒ab下滑过程中克服安培力所做的功等于电路中产生的电能，即安培力所做功的大小
W=mgx₀sin θ-μmgx₀cos θ-

1

2

mv_m²．
解得：
W=mgx₀sin θ-μmgx₀cos θ-

m 3g 2R 2(sinθ?μcosθ) 2

2 B 4 1 L4

答：（1）此过程中金属棒ab的最大速度为

mgR

B 2 1 L2

(sinθ?μcosθ)；
（2）此过程中通过电阻R的电荷量为

B1Lx0

R

；
安培力对金属棒ab所做的功是：mgx₀sin θ-μmgx₀cos θ-

m 3g 2R 2(sinθ?μcosθ) 2

2 B 4 1 L4

．