Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，且AD+BC=DC，求证：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，且AD+BC=DC，求证：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．

Answer 1

解答：证明：延长DA和CE交于F，
∵AD∥BC，即AF∥BC，
∴∠F=∠BCE，∠FAE=∠CBE，
∵E是AB中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中，

∠F＝∠BCE ∠FAE＝∠CBE AE＝BE

，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴EF=CE，AF=BC，
∴DF=AD+AF=AD+BC=DC，
在△DEF和△DEC中，

DE＝DE DF＝DC EF＝CE

，
∴△DEF≌△DEC（SSS），
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠ADC，∠DEF=∠DEC，
∵∠DEF+∠DEC=180°，
∴∠DEF+∠DEC=90°，即DE⊥EC，
∵DF=DC，
∴∠DCE=∠F，
∵AF∥BC，
∴∠BCE=∠F，
∴∠BCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．