Question

怎么求曲线在某点处的曲率？

Answer 1

假设曲线为 y=f(x)，曲率圆圆心(a, b)，半径为r；
曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。
首先得出曲率圆方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2；
假设曲线在该点处凹，则b > y，得出 y = b - (r^2 - (x-a)^2)^(1/2) ；
y' = (-1/2)[(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ] * (-2)(x-a) = (x-a) (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ；——A式
y'' = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)*(-1/2)(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)*(-2)(x-a)
= (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)^2(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)
——B式
按理由A、B两式就可以消掉(x-a)，得出一个半径r 的表达式由 y'与y''表示；
但是直接代入消元比较麻烦，可以如下这般代换：
由A知道(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) = y'/(x-a) 代入 B式有：
y'' = y’/(x-a) + (x-a)^2 (y'/(x-a))^3 = y'/(x-a) + y'^3 / (x-a) = (y' + y'^3) / (x-a)
=> (x-a) = (y' + y'^3) / y'' 此式再回过头代入A式中有：
y' = ((y' + y'^3) / y'')(r^2 - ((y' + y'^3) / y'')^2)^(-1/2)
=> r^2 = ((1 + y'^2) / y'')^2 + ((y' + y'^3)
/ y'')^2 = ((1 + y'^2)^3) / (y''^2)=> r = (1 + y'^2)^(3/2)/ y''
曲率就是1/r；
有了半径r、法线斜率(-1/y')，就很容易的求出曲率圆的圆心了，继而求出曲率圆的方程。
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。
意义
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义。
本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率，请参照曲率张量。

分类
例如在曲线CD上点A和临近一点A'各做一条切线，A和A'之间的弧长为ΔS，两条切线夹角为α，则曲线CD在A点的曲率为右图

。
以平面曲线为例，做一圆通过平面曲线上的某一点A和邻近的另外两点B1，B2，当B1和B2无限趋近于A时，此圆的极限位置叫做曲线A点处的曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲线在A点的曲率中心（centre of curvature)和曲率半径(radius of curvature)。
圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。 曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡。曲率半径的倒数就是曲率。曲率 k = (转过的角度/对应的弧长）。当角度和弧长同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。而对于圆，曲率不随位置变化。

在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是由于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。
在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。

Answer 2

假设曲线为 y=f(x)，曲率圆圆心(a, b)，半径为r；

曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。

首先得出曲率圆方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2；

假设曲线在该点处凹，则b > y，得出 y = b - (r^2 - (x-a)^2)^(1/2) ；

y' = (-1/2)[(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ] * (-2)(x-a) = (x-a) (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ；——A式

y'' = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)*(-1/2)(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)*(-2)(x-a)

= (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)^2(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)
——B式

按理由A、B两式就可以消掉(x-a)，得出一个半径r 的表达式由 y'与y''表示；

但是直接代入消元比较麻烦，可以如下这般代换：

由A知道(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) = y'/(x-a) 代入 B式有：

y'' = y’/(x-a) + (x-a)^2 (y'/(x-a))^3 = y'/(x-a) + y'^3 / (x-a) = (y' + y'^3) / (x-a)

=> (x-a) = (y' + y'^3) / y'' 此式再回过头代入A式中有：

y' = ((y' + y'^3) / y'')(r^2 - ((y' + y'^3) / y'')^2)^(-1/2)

=> r^2 = ((1 + y'^2) / y'')^2 + ((y' + y'^3)
/ y'')^2

= ((1 + y'^2)^3) / (y''^2)

=> r = (1 + y'^2)^(3/2)
/ y''

曲率就是1/r；

有了半径r、法线斜率(-1/y')，就很容易的求出曲率圆的圆心了，继而求出曲率圆的方程。

不知道对你有帮助没有。

Answer 3

假设曲线为 y=f(x)，曲率圆圆心(a, b)，半径为r；
曲率圆的本质就是要求曲线与圆在这点的切线与凹陷度一样。
首先得出曲率圆方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2；
假设曲线在该点处凹，则b > y，得出 y = b - (r^2 - (x-a)^2)^(1/2) ；
y' = (-1/2)[(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ] * (-2)(x-a) = (x-a) (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) ；——A式
y'' = (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)*(-1/2)(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2)*(-2)(x-a)
= (r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) + (x-a)^2(r^2 - (x-a)^2)^(-3/2) ——B式
按理由A、B两式就可以消掉(x-a)，得出一个半径r 的表达式由 y'与y''表示；
但是直接代入消元比较麻烦，可以如下这般代换：
由A知道(r^2 - (x-a)^2)^(-1/2) = y'/(x-a) 代入 B式有：
y'' = y’/(x-a) + (x-a)^2 (y'/(x-a))^3 = y'/(x-a) + y'^3 / (x-a) = (y' + y'^3) / (x-a)
=> (x-a) = (y' + y'^3) / y'' 此式再回过头代入A式中有：
y' = ((y' + y'^3) / y'')(r^2 - ((y' + y'^3) / y'')^2)^(-1/2)
=> r^2 = ((1 + y'^2) / y'')^2 + ((y' + y'^3) / y'')^2
= ((1 + y'^2)^3) / (y''^2)
=> r = (1 + y'^2)^(3/2) / y''
曲率就是1/r；
有了半径r、法线斜率(-1/y')，就很容易的求出曲率圆的圆心了，继而求出曲率圆的方程。