Question

如图，AB是⊙O的直径，点E是 上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，

如图，AB是⊙O的直径，点E是 上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．

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Answer 1

(1)证明见解析 (2)BC=

试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而可得∠BAD+∠ABD=90°，由圆周角定理可得∠BAD=∠DEC及已知可得∠ABC=90°，即BC是⊙O的切线； （2）由已知可得△ABC∽△BDC，利用对应边成比例即可求出BC的长． 试题解析：（1）∵AB是⊙O的切直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC， ∴∠BAD=∠DBC， ∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+ABD=90°， ∴∠ABC=90°， ∴BC是⊙O的切线； （2)∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴ ，即BC 2 =AC?CD=（AD+CD）?CD=10， ∴BC= ．