Question

设函数f（x）=x 2 +ax+b（x∈R）中a，b∈R，若对于任意的a∈[-3，3]，关于x的不等式f（x）＞1在[-1，1]上

设函数f（x）=x 2 +ax+b（x∈R）中a，b∈R，若对于任意的a∈[-3，3]，关于x的不等式f（x）＞1在[-1，1]上恒成立，则b的取值范围是（　　） A．（-∞，2） B．（-∞，3） C．（2，+∞） D．（3，+∞）

Answer 1

函数f（x）=x 2 +ax+b的对称轴为x=- a 2 ，a∈[-3，3]， ①当- 3 2 ≤- a 2 ＜-1时，即2＜a≤3时，函数f（x）在[-1，1]上是增函数， 函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-1）=1-a+b＞1，此时b＞a，故b＞3． ②当-1≤- a 2 ≤1时，即-2≤a≤2时，函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（- a 2 ）=b- a 2 4 ＞1， 可得 b＞2． ③当1＜- a 2 ≤ 3 2 时，即-3≤a＜-2时，函数f（x）在[-1，1]上是减函数， 函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（1）=1+a+b＞1，此时b＞-a，故b＞3， 综上可得，b＞3， 故选D．