Question

附加题：已知函数f(x)=sin2ωx+3cosωx?cos(π2-ωx)-12，(其中ω＞0)，且函数y=f（x）的图象相邻两条对

附加题：已知函数f(x)=sin2ωx+3cosωx?cos(π2-ωx)-12，(其中ω＞0)，且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．（Ⅰ）求f(π6)的值；（Ⅱ）若函数f(kx+π12)(k＞0)在区间[-π6，π3]上单调递增，求实数k的取值范围；（III）是否存在实数m使方程3f2（x）-f（x）+m=0在(π12，π3]内仅有一解，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)=sin2ωx+

3

cosωx?cos(

π

2

-ωx)-

1

2

=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

 
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．（2分）  根据题意，

T

2

=

π

2

，即T=π，所以

2π

2ω

=π，即ω=1．（4分）
从而f(x)=sin(2x-

π

6

)，故f(

π

6

)=sin(

2π

6

-

π

6

)=sin

π

6

=

1

2

．（6分）
（Ⅱ）因为f(kx+

π

12

)=sin[2(kx+

π

12

)-

π

6

]=sin2kx，k＞0，（8分）
则当-

π

6

≤x≤

π

3

时，-

kπ

3

≤2kx≤

2kπ

3

．（9分）
据题意，[-

kπ

3

，

2kπ

3

]?[-

π

2

，

π

2

]，所以

- kπ 3 ≥- π 2 2kπ 3 ≤ π 2 k＞0

，解得0＜k≤

3

4

．
故实数k的取值范围是(0，

3

4

]．（12分）
（III）∵x∈(

π

12

，

π

3

]，0＜2x-

π

6

≤

π

2

，∴0＜f（x）≤1，设f（x）=t，
问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]内仅有一根或两个相等实根．（14分）
又∵m=-3t2+t=-3(t2-

1

3

t)=-3(t-

1

6

)2+

1

12

，t∈(0，1]，（16分）
所以直线y=m与二次函数y=