若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)
若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2...
若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
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(1)由题意可知,f(0)=1,解得,c=1,
由f(x+1)-f(x)=2x.可知,[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2x,
化简得,2ax+a+b=2x,
∴
,
∴a=1,b=-1.
∴f(x)=x2-x+1;
(2)不等式f(x)>2x+m,可化简为x2-x+1>2x+m,
即x2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,
设g(x)=x2-3x+1-m,则其对称轴为x=
,
∴g(x)在[-1,1]上是单调递减函数.
因此只需g(x)的最小值大于零即可,
g(x)min=g(1),
∴g(1)>0,
即1-3+1-m>0,解得,m<-1,
∴实数m的取值范围是m<-1.
由f(x+1)-f(x)=2x.可知,[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2x,
化简得,2ax+a+b=2x,
∴
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∴a=1,b=-1.
∴f(x)=x2-x+1;
(2)不等式f(x)>2x+m,可化简为x2-x+1>2x+m,
即x2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,
设g(x)=x2-3x+1-m,则其对称轴为x=
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∴g(x)在[-1,1]上是单调递减函数.
因此只需g(x)的最小值大于零即可,
g(x)min=g(1),
∴g(1)>0,
即1-3+1-m>0,解得,m<-1,
∴实数m的取值范围是m<-1.
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