Question

（Ⅰ）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B＜π2；（提示：可以利用反证法证明）（Ⅱ）设x＞0，

（Ⅰ）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B＜π2；（提示：可以利用反证法证明）（Ⅱ）设x＞0，y＞0，求证：（x2+y2） 12＞（x3+y3） 13．

Answer 1

证明：（I）由题意得：

2

b

＝

1

a

+

1

c

．
假设B≥

π

2

，故在△ABC中角B是最大角，
从而b＞a，b＞c，所以

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

，
于是

2

b

＜

1

a

+

1

c

，与

2

b

＝

1

a

+

1

c

矛盾．
故B＜

π

2

；
（II）∵x＞0，y＞0，
∴要证明：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

，
只需证明：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．
即证x²y²（3x²-2xy+3y²）＞0，
只需证明3x²-2xy+3y²＞0，
∵3x²-2xy+3y²=2x²+2y²+（x-y）²＞0，
∴不等式成立．